Найти все значения последовательности

Опубликовано Mar 27, 2012 в Олимпиадные задачи | 12 коммент.

, ,

Найти все значения последовательности

Хотелось бы как-то оживить рубрику “олимпиадные задачи”.

С целью регулярной “разминки” – мы будем выкладывать по одной интересной задаче в неделю.

Задачи не будут требовать каких-либо специальных знаний (только базовая математика и алгоритмы). В среднем их решение рассчитано на непродолжительное время (от 10-ти минут до часа).

 

Дана последовательность натуральных чисел

A1, A2,A3, A4,  ….A1000000

Где

  • A1 = 1, A2 = 2
  • Для любого n, An+1 > An
  • Для любых m и n, где m <> n,  Am*n = Am * An

Необходимо найти все варианты (если их несколько) значений для последовательности.

Ждем решение в комментариях.


12 Коммент. : “Найти все значения последовательности”

  1. Дмитрий says:

    Как найти A3? О_О

  2. Мне кажется, вариант последовательности один, он же самый очевидный… Вопрос, как это доказать!

    • Может я не прав, но мне кажется что доп. условия типа m != n, и то что А2 = 2 — это всё уже избыточное.

      • То что m!=n – это не доп условие а доп ограничение. Ограничение не может быть избыточным т.к. оно ограничивает наши возможности в решении. Например мы не можем сказать что A4 = A2 * A2.

        Точно избыточно A1=1 :)

        А вот что A2=2 является избыточным, нужно подумать – это уже другая задача :)

        • A4 = A2 * A2 – это противоречит условию, ведь там сказано: m <> n, Am*n = Am * An

          • я писал – “мы НЕ можем сказать что A4 = A2 * A2″

          • A12 = A6 * A2 = A3 * A2 * A2;
            A12 = A4 * A3;

            => A4 * A3 = (A2 * A2) * A3;
            Сокращаем А3

            A4 = A2 * A2

            Простенький вывод на основании одного только условия “Для любых m и n, где m != n, Am*n = Am * An”, без каких-либо эмпирических изысков.

    • Один и самый очевидный 1,2,3,4…. – просто числа по порядку – ЭТОТ?

      • Разумеется,
        но мы ожидаем доказательства.
        Обоснуйте что “этот” и что точно не существует других вариантов)

        • Если рассмотреть А12, то
          А12=А4*А3
          С другой стороны
          А12=А6*А2
          В свое время А6=А2*А3
          Из первых двух следует, что
          А6/А3=А4/А2
          Учитывая третье уравнение и то, что Аn!=0 получаем, что А4/А2=А2.
          То есть А4=4. Следовательно А3=3 т.к. An+1 > An
          Тогда А12=12 и соответственно
          при n<=12 Аn=n
          так как это единственная возможная возрастающая последовательность 12-ти натуральных чисел между 1 и 12.
          Ну а дальше А1000000 раскладывается на множители:
          А1000000=А2*А5*А10*А10А10*А10А10.
          Следовательно А1000000=1000000.
          И опять же единственная возрастающая последовательность из миллиона натуральных чисел между 1 и 1000000 = это натуральный ряд.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.


*